TEORÍA DE NÚMEROS

Múltiplos

 

Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número c.

a = b · c

18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9.

18 = 2 · 9

Obtenemos un múltiplo natural al multiplicarlo por cualquier número natural.

Múltiplos de 2

2 · 0 = 0	2 · 1 = 2	2 · 2 = 4	2 · 3 = 6	2 · 4 = 8
2 · 5 = 10	2 · 6 = 12	2 · 7 = 14	2 · 8 = 16	2 · 9 = 18

Múltiplos de 3

3 · 0 = 0	3 · 1 = 3	3 · 2 = 6	3 · 3 = 9	3 · 4 = 12
3 · 5 = 15	3 · 6 = 18	3 · 7 = 21	3 · 8 = 24	3 · 9 = 27

Múltiplos de 4

4 · 0 = 0	4 · 1 = 4	4 · 2 = 8	4 · 3 = 12	4 · 4 = 16
4 · 5 = 20	4 · 6 = 24	4 · 7 = 28	4 · 8 = 32	4 · 9 = 36

Múltiplos de 5

5 · 0 = 0	5 · 1 = 5	5 · 2 = 10	5 · 3 = 15	5 · 4 = 20
5 · 5 = 25	5 · 6 = 30	5 · 7 = 35	5 · 8 = 40	5 · 9 = 45

Múltiplos de 6

6 · 0 = 0	6 · 1 = 6	6 · 2 = 12	6 · 3 = 18	6 · 4 = 24
6 · 5 = 30	6 · 6 = 36	6 · 7 = 42	6 · 8 = 48	6 · 9 = 54

Múltiplos de 7

7 · 0 = 0	7 · 1 = 7	7 · 2 = 14	7 · 3 = 21	7 · 4 = 28
7 · 5 = 35	7 · 6 = 42	7 · 7 = 49	7 · 8 = 56	7 · 9 = 63

Múltiplos de 8

8 · 0 = 0	8 · 1 = 8	8 · 2 = 16	8 · 3 = 24	8 · 4 = 32
8 · 5 = 40	8 · 6 = 48	8 · 7 = 56	8 · 8 = 64	8 · 9 = 72

Múltiplos de 9

9 · 0 = 0	9 · 1 = 9	9 · 2 = 18	9 · 3 = 27	9 · 4 = 36
9 · 5 = 45	9 · 6 = 54	9 · 7 = 63	9 · 8 = 72	9 · 9 = 81

Múltiplos de 10

10 · 0 = 0	10 · 1 = 10	10 · 2 = 20	10 · 3 = 30	10 · 4 = 40
10 · 5 = 50	10 · 6 = 60	10 · 7 = 70	10 · 8 = 80	10 · 9 = 90

 

Propiedades de los múltiplos de un número

1. Todo número a, distinto de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

2. El cero es múltiplo de todos los números.

3.  Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos.

4.  Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.

5.  La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

6.  La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

7. Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.

8. Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

 

Divisores

 

Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente.

4 es divisor de 12; 12 : 4 = 3.

A los divisores también se les llama factores.

Propiedades de los divisores de un número

1.  Todo número, distinto de 0, es divisor de sí mismo.

2.  El 1 es divisor de todos los números.

3. Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto el número de divisores es finito.

4. Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.

5.  Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero.

6.  Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.

Descomposición en factores primos

Para descomponer un número en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente.

Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

2 520 = 2³ · 3² · 5 · 7

Número de divisores de un número

Se obtiene sumando la unidad a los exponentes y multiplicando los resultados obtenidos:

Número de divisores de 2 520 = (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 48

Formación de todos los divisores de un número

Se escribe una primera fila formada por la unidad y todas las potencias del primer factor, se traza una línea horizontal.

Formación de todos los divisores de 2 520

2

4

8

Se escribe una segunda fila, con los productos del segundo factor por la fila anterior. Si el segundo factor se ha elevado a exponentes superiores a la unidad, por cada unidad del exponente se escribe otra fila. Se traza otra línea horizontal.

1	2	4	8
3	6	12	24
9	18	36	72

Se escriben ahora otras filas con los productos del tercer factor (con las potencias correspondientes) por todos los números obtenidos hasta el momento.

1	2	4	8
3	6	12	24
9	18	36	72
5	10	20	40
15	30	60	120
45	90	180	360

Se continúa de igual modo con otros posibles factores.

1	2	4	8
3	6	12	24
9	18	36	72
5	10	20	40
15	30	60	120
45	90	180	360
7	14	28	56
21	42	84	168
63	126	252	504
35	70	140	280
105	210	420	840
315	630	1260	2520

El último divisor obtenido debe coincidir con el número.

 

Divisibilidad

 

Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

Criterios de divisibilidad

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

24, 238, 1024.

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.

564

5 + 6 + 4 = 15, es mútiplo de 3

2040

2 + 0 + 4 + 0 = 6, es mútiplo de 3

Criterio de divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

45, 515, 7525.

Criterio de divisibilidad por 7

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.

343

34 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7

105

10 - 5 · 2 = 0

2261

226 - 1 · 2 = 224

Volvemos a repetir el proceso con 224.

22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.

Criterio de divisibilidad por 11

Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.

121

(1 + 1) - 2 = 0

4224

(4 + 2) - (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisblilidad

Criterio de divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

36, 400, 1028.

Criterio de divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

72, 324, 1503

Criterio de divisibilidad por 8

Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

4000, 1048, 1512.

Criterio de divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.

81

8 + 1 = 9

3663

3 + 6 + 6 + 3 = 18, es mútiplo de 9

Criterio de divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.

130, 1440, 10 230

Criterio de divisibilidad por 25

Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.

500, 1025, 1875.

Criterio de divisibilidad por 125

Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.

1000, 1 125, 4 250.

Factorizar

Factorizar o descomponer un número en factores primos es expresar el número como un producto de numeros primos.

 

Números primos

 

 

Definición de número primo

Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

5, 13, 59.

El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo.

Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, se dice que el número es primo.

Por tanto 179 es primo.

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado.

Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un determinado número.

Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.

Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente.

El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el número final de la lista.

Los números que permanecen en la lista son los primos.

Vamos a calcular por este algoritmo los números primos menores que 40.

1. Escribimos los números, en nuestro caso serán los comprendidos entre 2 y 40.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

2. Eliminamos los múltiplos de 2.

	2	3		5		7		9		11		13		15		17		19
21		23		25		27		29		31		33		35		37		39

3. El siguiente número es 3, como 3² < 40 eliminamos los múltiplos de 3.

	2	3		5		7				11		13				17		19
		23		25				29		31				35		37

4. El siguiente número es 5, como 5² < 40 eliminamos los múltiplos de 5.

	2	3		5		7				11		13				17		19
		23						29		31						37

 

5. El siguiente número es 7, como 7² > 40 el algoritmo termina y los números que nos quedan son primos.

	2	3		5		7				11		13				17		19
		23						29		31						37

Tabla de números primos

	2	3		5		7				11		13				17		19
		23						29		31						37
41		43				47						53						59
61						67				71		73						79
		83						89								97
101		103				107		109				113
						127				131						137		139
								149		151						157
	163					167						173						179
181										191		193				197		199

 

 

Números compuestos

 

Un número compuesto es él que posee más de dos divisores. Es decir se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números.

12, 72, 144.

Los números compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos, a dicha expresión se le llamadescomposición de un número en factores primos.

70 = 2 ·5 · 7

Factorizar un número

Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente.

Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

432 = 2⁴ · 3³

 

 

^{Máximo común ​divisor}

El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor

1. Se descomponen los números en factores primos.

2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.

1.

72 = 2³ · 3²

108 = 2² · 3³

60 = 2² · 3 · 5

2.

m. c. d. (72, 108, 60) = 2² · 3 = 12

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d.

El número 12 es divisor de 36.

m. c. d. (12, 36) = 12 

 

Mínimo común múltiplo