ÁNGULOS
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
Medición de ángulos
Para medir ángulos utilizamos el grado sexagesimal (°)
Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
1º = 60' = 3600''
1' = 60''
Radián
Radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.
1 rad= 57° 17' 44.8''
360º = 2
rad
Suma de ángulos
Gráfica
La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.
Numérica
1º Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.
2º Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.
3º Se hace lo mismo para los minutos.
Resta de ángulos
Gráfica
La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor.
Numérica
1º Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.
2º Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.
3º Hacemos lo mismo con los minutos.
Multiplicación de ángulos
Gráfica
La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número.
Numérica
1º Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.
2º Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.
3º Se hace lo mismo para los minutos.
División de ángulos
Gráfica
La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original.
:4 =
Numérica
Dividir 37º 48' 25'' entre 5
1º Se dividen los grados entre el número.
2º El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.
3º Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.
4º Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.
Clasificación de ángulos según su medida
| Agudo < 90° | Recto = 90° | Obtuso>90° |
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| Convexo < 180° | Llano = 180° | Cóncavo > 180° |
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| Nulo = 0º | Completo = 360° | |
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| Negativo < 0º | Mayor de 360° | |
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Tipos de ángulos según su posición
Ángulos consecutivos
Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.
Ángulos adyacentes
Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en polongación del otro.
Forman un ángulo llano.
Ángulos opuestos por el vértice
Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.
Los ángulos 1 y 3 son iguales.
Los ángulos 2 y 4 son iguales.
Clases de ángulos según su suma
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
Ángulos entre paralelas y una recta transversal
Ángulos correspondientes
Los ángulos 1 y 2 son iguales.
Ángulos alternos internos
Los ángulos 2 y 3 son iguales.
Ángulos alternos externos
Los ángulos 1 y 4 son iguales.
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo semiinscrito
El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo interior
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.
Ángulo exterior
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.
Ángulos de un polígono regular
Ángulo central de un polígono regular
Es el formado por dos radios consecutivos.
Si n es el número de lados de un polígono:
Ángulo central = 360° : n
Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º
Ángulo interior de un polígono regular
Es el formado por dos lados consecutivos.
Ángulo interior =180° − Ángulo central
Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º
Ángulo exterior de un polígono regular
Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.
Ángulo exterior = Ángulo central
Ángulo exterior del pentágono regular = 72º
Definición de bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.
Trazar la bisectriz
1º Se traza un arco correspondiente al ángulo
2º Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos que han de cortarse en un punto.
3º La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.
Otra forma de dibujar la bisectriz de un ángulo
1.Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.
2.Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio.
3.La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la bisectriz.
Incentro
El incentro es el punto de corte de las tres bisetrices de un triángulo.
El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.