MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Definición de parámetro estadístico

Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.

Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.

Tipos de parámetros estadísticos

Hay tres tipos parámetros estadísticos:

De centralización.

De posición

De dispersión.


 

Medidas de centralización

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

La medidas de centralización son:

Media aritmética

La media es el valor promedio de la distribución.

Mediana

La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda

La moda es el valor que más se repite en una distribución.


 

Medidas de posición

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

La medidas de posición son:

Cuartiles

Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.

Deciles

Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Percentiles

Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.


 

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión son:

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.

Desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.


 

Definición de moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4


 

Cálculo de la moda para datos agrupados

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

fórmula de la moda

Li es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

moda

Ejemplo

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

 

  fi
[60, 63) 5
[63, 66) 18
[66, 69) 42
[69, 72) 27
[72, 75) 8
  100

moda

moda

Definición de mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre cociente.

mediana

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

cociente es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

 

  fi Fi
[60, 63) 5 5
[63, 66) 18 23
[66, 69) 42 65
[69, 72) 27 92
[72, 75) 8 100
  100  

100/2 = 50

Clase de la mediana: [66, 69)

mediana

Definición de media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

símbolo de la media aritmética es el símbolo de la media aritmética.

fórmula de la media

media

Ejemplo

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

media aritmética


 

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

media

media

Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

 

  xi fi xi · fi
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
    42 1 820

media

 

1.Calcular la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

Mo = 5


 

2.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

 

Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1

Calcular la moda.

Mo = 12


 

3.Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

 

  fi
[60, 63) 5
[63, 66) 18
[66, 69) 42
[69, 72) 27
[72, 75) 8
  100

moda


 

4.Calcular la moda de una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

 

  [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2


 

moda


 

5.Calcular la moda de la distribución estadística:

 

  [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, ∞)
fi 3 5 7 8 2 6


 

moda


 

6.El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

histograma

Calcular la moda.

moda


 

7.En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

 

  fi hi
[0, 5) 15 3
[5, 7) 20 10
[7, 9) 12 6
[9, 10) 3 3
  50  

moda

 

1. Hallar la mediana de la siguientes series de números:

3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.

2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 8, 9.

Me = 5

3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.

2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9.

10/2 = 5 mediana

10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18

3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20

mediana


 

2. Tabular y calcular mediana de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.


 

xi fi Fi
2 2 2
3 2 4
4 5 9
5 6 15
6 2 17
8 3 20
  20  

20/2 = 10 Me = 5


 

3. Hallar la mediana de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

 

  [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2

 

 

  fi Fi
[10, 15) 3 3
[15, 20) 5 8
[20, 25) 7 15
[25, 30) 4 19
[30, 35) 2 21
  21  

mediana


 

4. Calcular la mediana de las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto, que vienen dadas por la tabla:

 

Altura [170, 175) [175, 180) [180, 185) [185, 190) [190, 195) [195, 2.00)
Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2


 

  fi Fi
[1.70, 1.75) 1 1
[1.75, 1.80) 3 4
[1.80, 1.85) 4 8
[1.85, 1.90) 8 16
[1.90, 1.95) 5 21
[1.95, 2.00) 2 23
  23  


 

mediana

1.Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:

1. Calcular su media.

2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media.

1

media

2

varianza


 

2. A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

media


 

3. Calcular la media de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

 

xi 61 64 67 70 73
fi 5 18 42 27 8


 

xi fi xi · fi
61 5 305
64 18 1152
67 42 2814
71 27 1890
73 8 584
  100 6745

media


 

4. Hallar la media de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

 

  [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2


 

  xi fi xi · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5
[15, 20) 17.5 5 87.5
[20, 25) 22.5 7 157.5
[25, 30) 27.5 4 110
[30, 35) 32.5 2 65
    21 457.5

media


 

5. Calcular la media de la distribución estadística:

 

  [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, ∞)
fi 3 5 7 8 2 6


 

  xi fi Fi
[0, 5) 2.5 3 3
[5, 10) 7.5 5 8
[10, 15) 12.5 7 15
[15, 20) 17.5 8 23
[20, 25) 22.5 2 25
[25, ∞)   6 31
    31  


 

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.


 

6. Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:

 

  1 2 3 4 5 6
fi a 32 35 33 b 35

Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.


 

xi fi xi · fi
1 a a
2 32 64
3 35 125
4 33 132
5 b 5b
6 35 210
  135 + a + b 511 + a + 5b


 

ecuación

ecuación

a = 29 b = 36